第1课时　锐角的三角函数

教学目标

【知识与技能】

1.了解锐角三角函数的概念,能够正确应用sinA、cosA、tanA表示直角三角形中两边的比.

2.理解坡度的概念,并能够计算坡面的坡度.

【过程与方法】

通过锐角三角函数的学习进一步认识函数,体会函数的变化与对应的思想,体会数学在解决实际问题中的应用.

【情感、态度与价值观】

1.通过学习培养学生的合作意识.

2.通过探究提高学生学习数学的兴趣.

重点难点

【重点】

锐角三角函数的概念,坡比的概念.

【难点】

锐角三角函数概念的理解.

教学过程

一、创设情境,导入新知

师:高架桥的起始一段有倾斜的部分,这个坡面的坡度或者说倾斜程度是怎样度量的呢?

学生思考.

二、共同探究,获取新知

1.正切的概念.

教师多媒体课件出示:

在下图中,有两个直角三角形,直角边AC与A₁C₁表示水平面,斜边AB与A₁B₁ 分别表示两个不同的坡面,坡面AB和A₁B₁哪个更陡?你是怎样判断的?

生:A₁B₁更陡.

师:你是怎样判断的呢?

生甲:这两个中同样是100的一段,对应的高度A₁B₁上升得多.

生乙:(2)倾斜得厉害.

教师多媒体课件出示:

师:这个图里,你能判断坡面AB和A₁B₁哪 个更陡吗?

学生观察后回答:A₁B₁更陡.

师:为什么?

生:……

教师多媒体课件出示:

如图,在锐角A的一边上任取一点B,自点B向另一边作垂线,垂足为C,得到Rt△ABC;再任取一点B₁,自点B₁向另一边作垂线,垂足为C₁,得到另一个Rt△AB₁C₁……这样,我们可以得到无数个直角三角形,这些直角三角形都相似.在这些直角三角形中,锐角A的对边与邻边之比、、…… 究竟有怎样的关系?

教师读题后学生思考.

生:锐角A的这些对边与邻边之比都是相等的.

师:对,在这些直角三角形中,当锐角A的大小确定后,无论直角三角形的大小怎样变化,∠A的对边与邻边的比值总是一个定值.

教师边操作边讲解:

在这个直角三角形ABC中,我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切,记作tanA,即tanA===.

2.坡度、坡角的概念.

教师边作图边讲解:

正切经常用来描述坡面的坡度.坡面的铅直高度h和水平长度l的比叫做坡面的坡度(或坡比),记作i,即i=,坡度通常写成h∶l的形式.坡面与水平面的夹角叫做坡角(或称倾斜角),记作α,于是有i==tanα.你能得到坡度与坡角之间的关系吗?

生:能.坡度越大,坡角越大,坡面就越陡.

师:很好!

三、举例应用,巩固新知

教师多媒体课件出示:

【例1】　如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,求tanA和tanB.

tanA===.

师:你能计算出∠A和∠B?正切吗?

学生思考后回答:能.

师:怎样计算?

教师找一生回答.

生:tanA==,tanB==

师:你回答得很好!现在请同学们看课本第114页练习的第3题.

学生读题后,教师找两生板演,其余同学在下面做,然后集体订正.

解:AC===≈199.64,

∴引桥的坡度为:tan∠BAC===≈0.06.

四、继续探究,层层推进

教师多媒体课件出示:

师:在这个图中,这些直角三角形都是相似的,当锐角A的大小确定后,不仅∠A的对边与邻边的比随之确定,还有一些量也是确定的,你知道还有哪些量也是确定的吗?

学生思考、交流.

教师提示:还有哪两条边的比值也是确定的?

生甲:∠A的对边与斜边的比值也是确定的.

生乙:邻边与斜边的比值也是确定的.

师:对.

教师画一个图形:

师:在这个直角三角形ABC中,我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦,记作sinA,即sinA===.锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦,记作cosA,即cosA===.锐角A的正弦、余弦、正切称为锐角A的三角函数.我们介绍了正弦、余弦,下面我们通过具体的实例加深对这些函数的印象.

老师多媒体课件出示:

【例2】　如图,在Rt△ABC中,两直角边AC=12,BC=5.求∠A的各个三角函数值.

师:要求这三个三角函数的值,需要知道几条边的长?

生:三条.

师:现在已知了哪几条边的长?

生:AC、BC两条边的长.

师:那么我们需要求什么才能求出三个三角函数的值?

生:还要求出AB的长.

师:怎样求呢?

生:用勾股定理.

师:很好!现在请同学们求出AB的长,并进一步求出∠A的各个三角函数的值.

学生做题.

师:请同学们将你的步骤和结果与课本上的解答相比照,对不正确的地方加以纠正.

学生对照.

教师多媒体课件出示:

【例3】　如图,在平面直角坐标系内有一点P(3,4),连接OP.求OP与x轴正方向所夹锐角α的各个三角函数.

教师读题,学生思考.

师:以前是在直角三角形中,用直角三角形的边长之比求三角函数的,现在没有直角三角形怎么办?

学生思考.

生:作辅助线.

师:怎样作?

生:过点P向x轴作垂线,垂足为Q.这样在直角三角形OPQ中求角α的三角函数值就行了.

师:很好!作出这样的辅助线就方便了,就变成了我们以前遇到过的类型,同学们能求出吗?

生:能.

师:好!现在请同学们画出辅助线,并求出角α的三角函数值.

学生作图,计算.

师:请同学们将结果与课本上的解答比较,加以修正.

学生对照,修正.

五、练习新知

1.师:请同学们看课本第116页练习的第1、2题.

学生看题.

教师找两生分别板演练习第1、2题,其余同学在下面做,然后集体订正得到:

(1)解:BC===8,

∴sinA===,cosA===,

tanA===.

sinB===,cosB===,

tanB===.

(2)解:AB===4.

∵∠ACD+∠A=90°,∠B+∠A=90°,

∴∠ACD=∠B(同角的余角相等),

同理∠BCD=∠A.

∴sin∠ACD=sin∠B===,

cos∠BCD=cos∠A===.

2.师:同学们,通过刚才习题的练习,你们掌握得怎么样?下面让我们一起来看几道习题.

教师板书习题:

(1)为测量如图所示的上山坡道 的倾斜度,小明测得数据如图所示,则该坡道倾斜角α的正切值是(　　)

A.　　　B.4　　　C.　　　D.

【答案】C

(2)晓敏由地面沿坡度i=1∶2的坡面向上前进了10 m,此时她距离地面的高度为(　　)

A.5 m　　B.4 m　　C.2 m　　D. m

【答案】C

(3)在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=4,AC=6,则tanA的值为　　　　. 

【答案】

(4)在△ABC中,∠C=90°,BC=6,tanA=,则AC的长是　　　　. 

【答案】9

(5)在等腰△ABC中,AB=AC=5,BC=6,则tanB=　　　　. 

【答案】

(6)某楼梯每一级台阶的宽度为30 cm,高度为15 cm,则楼梯的倾斜角的正切值为　　　　. 

【答案】

(7)修建抽水站时,沿着倾斜角为α的斜坡铺设管道,若量得水管的长度AB为100 m,端点B离水平面的铅直高度为60 m,则倾斜角α的正切值为　　　　. 

六、课堂小结

师:本节课你又学习了什么内容?

学生回答.

师 :你还有什么疑问?

学生提问,教师解答.

教学反思

本节课采用问题引入法,从教材探究性问题梯子的倾斜度入手,让学生主动参与学习活动.用特殊值探究锐角的三角函数时,学生们表现得非常积极,从作

图、找边角、计算各个方面进行探究,学生发现:特殊角的三角函数值可以用勾股定理求出,然后探究:三角函数与直角三角形的边、角有什么关系?三角函数与三角形的形状有关系吗?整节课都在紧张而愉快的气氛中进行.学生非常活跃,大部分人都能积极动脑、积极参与.教学中,我一直比较关注学生的情感态度,对那此积极动脑、热情参与的同学都给予了鼓励和表扬,促使学生的情感和兴趣始终保持最佳状态,从而保证教学活动的有效性.

第2课时　30°,45°,60°角的三角函数值

教学目标

【知识与技能】

1.熟记30°、45°、60°角的三角函数值,并能根据这些值说出对应的锐角度数.

2.在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.

【过程与方法】

1.培养学生把实际问题转化为数学问题的能力.

2.培养学生观察、比较、分析、概括的能力.

【情感、态度与价值观】

经历观察、操作、归纳等学习数学的过程,感受数学思考过程的合理性,感受数学说理的必要性、说理过程的严谨性,养成科学、严谨的学习态度.

重点难点

【重点】

30°、45°、60°角的三角函数值.

【难点】

与特殊角的三角函数值有关的计算.

教学进程

一、复习巩固

教师多媒体课件出示:

如图所示:在Rt△ABC中,∠C=90°.