215-2016学年沪教版九年级数学上23.2解直角三角形及其应用（共3课时）教学设计
教学目标
【知识与技能】
在理解解直角三角形的含义、直角三角形五个元素之间关系的基础上,会运用勾股定理、直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形.
【过程与方法】
通过综合运用勾股定理、直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形,逐步培养学生分析问题、解决问题的能力.
【情感、态度与价值观】
在探究学习的过程中,培养学生合作交流的意识,使学生认识到数与形相结合的意义与作用,体会到学好数学知识的作用,并提高学生将数学知识应用于实际的意识,从而体验“从实践中来,到实践中去”的辩证唯物主义思想,激发学生学习数学的兴趣.让学生在学习过程中感受到成功的喜悦,产生后继学习激情,增强学好数学的信心.
重点难点
【重点】
直角三角形的解法.
【难点】
灵活运用勾股定理、直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形.
教学过程
一、复习回顾
师:你还记得勾股定理的内容吗?
生:记得.
学生叙述勾股定理的内容.
师:直角三角形的两个锐角之间有什么关系呢?
生:两锐角互余.
师:直角三角形中,30°的角所对的直角边与斜边有什么关系?
生:30°的角所对的直角边等于斜边的一半.
师:很好!
二、共同探究,获取新知
1.概念.
师:由sinA=,你能得到哪些公式?
生甲:a=c·sinA.
生乙:c=.
师:我们还学习了余弦函数和正切函数,也能得到这些式子的变形.这些公式有一个共同的特点,就是式子的右端至少有一条边,为什么会是这样的呢?
学生思考.
生:因为左边的也是边,根据右边边与角的关系计算出来的应是长度.
师:对!解三角形就是由已知的一些边或角求另一些边和角,我们现在看看解直角三角形的概念.
教师板书:
在直角三角形中,由已知的边角关系,求出未知的边与角,叫做解直角三角形.
2.练习
教师多媒体课件出示:
(1)如图(1)和(2),根据图中的数据解直角三角形;
师:图(1)中是已知一角和一条直角边解直角三角形的类型,你怎样解决这个问题呢?
生1:根据cos60°=,得到AB=,然后把AC边的长和60°角的余弦值代入,求出AB边的长,再用勾股定理求出BC边的长,∠B的度数根据直角三角形两锐角互余即可得到.
生2:先用直角三角形两锐角互余得到∠B为30°,然后根据30°的角所对的直角边等于斜边的一半,求出AB的值,再由sin60°=得到BC=AB·sin60°,从而得到BC边的长.
师:你们回答得都对!还有没有其他的方法了?
生3:可以求出AB后用AB的值和∠B的余弦求BC的长.
生4:可以在求出AB后不用三角函数,用勾股定理求出BC.
师:同学们说出这几种做法都是对的.下面请同学们看图(2),并解这个直角三角形.
学生思考,计算.
师:这两个题目中已经给出了图形,现在我们再看几道题.
教师多媒体课件出示:
【例1】 在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=42°6',c=287.4,解这个直角三角形.
师:你怎样解答这道题呢?先做什么?
生:先画出图形.
师:很好!现在请同学们画出大致图形.
学生画图.
教师找一生说说解这个直角三角形的思路,然后让同学们自己做,最后集体订下.
解: ∠A=90°-42°6'=47°54'.
由cosB=,得
a=ccosB=287.4×0.7420≈213.3.
由sinB=得
b=csinB=287.4×0.6704≈192.7.
教师多媒体课件出示:
【例2】 在△ABC中,∠A=55°,b=20 cm,c=30 cm.求△ABC的面积S△ABC.(精确到0.1 cm2)
师:这道题是已知了三角形的两条边和一个角,求三角形的面积.要先怎样?
学生思考.
生:先画出图形.
师:对,题中没有已知图形时,一般都要自己画出图形.然后呢?你能给出解这道题的思路吗?
生1:先计算AB边上的高,以AB为底,AB边上的高为三角形的高,根据三角形的面积公式,就能计算出这个三角形的面积了.
生2:还可以先计算AC边上的高,然后用三角形的面积公式计算这个三角形的面积.
师:很好!我们现在讨论以AB为底时求三角形面积的方法,怎样求AB边上的高呢?
教师找一生回答,然后集体订正.
解:如图,作AB上的高CD.
在Rt△ACD中,CD=AC·sinA=bsinA,
∴S△ABC=AB·CD=bcsinA.
当∠A=55°,b=20 cm,c=30 cm时,有
S△ABC=bcsinA=×20×30sin55°
=×20×30×0.8192
≈245.8(cm2).
教师多媒体课件出示:
【例3】 如图,东西两炮台A、B相距2 000米,同时发现入侵敌舰C,炮台A测得敌舰C在它的南偏东40°的方向,炮台B测得敌舰C在它的正南方,试求敌舰与两炮台的距离.(精确到1米)
师:这是一个与解直角三角形有关的实际问题,你能将它转化为数学模型吗?
学生思考后回答:会.
师:这相当于已知了哪些条件,让你求什么量?
生:已知直角三角形的一个锐角和一条直角边,求它的斜边和另一直角边.
师:你回答得很好!现在请同学们计算一下.
学生计算,教师巡视指导,最后集体订正.
解:在Rt△ABC中,
∵∠CAB=90°-∠DAC=50°,=tan∠CAB,
∴BC=AB·tan∠CAB=2 000×tan50°≈2 384(米)
又∵=cos50°,
∴AC==≈3 111(米).
答:敌舰与A、B两炮台的距离分别约为3 111米和2 384米.
三、练习新知
师:现在请同学们看课本第125页练习1的第(1)、(2)题.
教师找两生各板演1题,其余同学在下面做,然后集体订正.
解:(1)
∠A=90°-80°=10°,
AB=≈≈172.81,
AC=≈≈170.16,
(2)
BC===≈7.42.
cosA===0.375,
∠A≈67.976°≈67°58'32″,
∠B=90°-∠A=22°1'28″.
教师找一生板演课本第125页练习的第3题,其余同学在下面做,然后集体订正.
解:
过点A向DC作垂线,与DC交于一点E.
AE=ADsin43°
=6×sin43°
≈6×0.682
=4.092.
S=(AB+DC)×AE
=(4+8)×4.092
≈24.55.
答:梯形的面积为24.55.
四、巩固提高
师:同学们,通过刚才的学习,相信大家都掌握了一定的解直角三角形及其应用题的方法,现在我出几道习题来检测下大家学得怎么样!
教师多媒体课件出示习题:
1.在△ABC中,∠C=90°,下列各式中不正确的是( )
A.b=a·tanB B.a=b·cosA
C.c= D.c=
【答案】B
2.在Rt△ABC中,∠C=90°,a=35,b=28,则tanA= ,tanB= .
【答案】
3.在Rt△ABC中,∠C=90°,c=10,b=5,则∠A= ,S△ABC= .
【答案】30°
4.已知在Rt△ABC中,∠C=90°,a=104,b=20.49,求∠A和∠B.(可利用计算器进行运算,精确到1°)
【答案】∠A=79°,∠B=11°
5.如图,在Rt△ABC中,BC=7.85,AB=11.40,解这个直角三角形.(边长保留三个有效数字,角度精确到1°)
【答案】AC=8.27,∠A=44°,∠B=46°
五、课堂小结
师:本节课,我们学习了什么内容?
学生回答.
师:你还有什么不懂的地方吗?
学生提问,教师解答.
教学反思
本节课在教学过程中,能灵活处理教材,敢于放手让学生通过自主学习、合作探究,达到理解并掌握知识的目的,并能运用知识解决问题.在本章开头,我带领学生复习了与解直角三角形有关的知识点,使学生在解决问题时能想到并能熟练运用.在解有特殊角的三角形时有不止一种解法,我鼓励学生勇于发言,给了他们展示自我的机会,锻炼他们表达自己想法的能力,并且增强了他们的自信心.
第2课时 解直角三角形的应用(1)
教学目标
【知识与技能】
使学生掌握仰角、俯角的概念,并学会正确地运用这些概念和解直角三角形的知识解决一些实际问题.
【过程与方法】
让学生体验方程思想和数形结合思想在解直角三角形中的用途.
【情感、态度与价值】
使学生感知本节课与现实生活的密切联系,进一步认识到将数学知识运用于实践的意义.
重点难点
【重点】
将实际问题转化为解直角三角形问题.
【难点】
将实际问题中的数量关系如何转化为直角三角形中元素间的关系求解.
教学过程
一、创设情境,导入新知
教师多媒体课件出示:
南浦大桥建桥时为世界第三大斜拉桥,桥全长8346米,6车道,主塔高154米,塔柱中间,由两根高8米、宽7米的上下拱梁牢牢地连接着,呈“H”型.南浦大桥于1991年12月1日建成通车.南浦大桥横卧在黄浦江上,它使上海人圆了“一桥飞架黄浦江”的梦想.
问题:南浦大桥主塔高154米,最高的一根钢索与桥面的夹角为30°,问最高的钢索有多长?
追问:第二根钢索与桥面的夹角为35°,如何求第二根钢索的长呢?
教师带领学生看题目.
二、共同探究
师:请同学们思考这个问题.这是一个实际问题,我们将它转换为数学模型后是不是很简单了?你能求出最高的钢索长度吗?
生:能.
教师找一生回答.
量:你能求出第二根钢索的长吗?
生:能,与最长的一根钢索长的求法一样.
教师多媒体课件出示:
操场上有一根旗杆,老师让小明去测量旗杆的高度,小明站在离旗杆底部10米远处,目测旗杆的顶部,视线与水平线的夹角为34°,并已知目高为1米.然后他很快就算出旗杆的高度了.
师:请同学们思考这个问题,想想他是如何计算的.
学生思考,讨论.
师:如果我们把已知的条件转化为三角形的一些元素,你能不能算出?
生:能.
师:很好!现在请同学们想想已知了或容易算出哪些量,需要求的是什么量?
生:已知了一个直角梯形的一条底边,一条腰长,并且容易算出它的一个内角,求它的另一底.
师:对,那你知道小明是怎么算的吗?
学生思考,交流.
生:先把各个顶点用字母标出,然后作辅助线,构造直角三角形.
教师找一生板演,并让他解释自己的思路.
三、继续探究,层层推进
1.讲解.
师:在实际生活中,解直角三角形有着广泛的应用,例如我们通常遇到的视线、水平线、铅垂线就构成了直角三角形.
教师在黑板上作图.
师:当我们测量时,在视线与水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫做仰角;在水平线以下的角叫做俯角.
注意:(1)仰角和俯角必须是视线与水平线所夹的角,而不是与铅垂线所夹的角;