人教版数学八年级下《第十九章一次函数》导学案
教材精华
知识点1常量与变量
不同的事物在变化过程中,有些量的值是按照某种规律变化的,有些量的值是始终不变的.在一个变化过程中,我们称数值发生变化的量为变量,数值始终不变的量为常量.
拓展 常量与变量是相对的,判断常量与变量的前提条件是“在某一变化过程中”,在不同的变化过程中,同一个量在不同过程中可能不同.如工作量问题,工作量=工作效率×工作时间,若工作量一定,则工作效率、工作时间为变量;若工作效率一定,则工作量、工作时间为变量.
知识点2 函数的概念
一般地,在一个变化过程中,如果有两个变量x与y,并且对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应,那么我们就说x是自变量,y是x的函数.
函数的定义中包括三个要素:(1)自变量的取值范围;(2)两个变量之间的对应关系;(3)后一个变量被唯一确定而形成的变化范围.
拓展 (1)自变量与函数都用什么字母表示无关紧要,自变量可用x表示,也可用t,u,p,…中的任何一个字母表示,函数可用y表示,也可用s,v,q,…中的任何一个字母表示.
(2)在我们所研究的范围内,有时两个变量之间虽然有一定的关系,但却不符合函数中的对应关系,也就是说,这种关系不是“唯一确定”的关系,那么这两个变量之间就不存在函数关系.
(3)函数不是数,函数的本质是对应,函数关系就是变量之间的对应关系,且是一种特殊的对应关系.必须是“对于x的每一个值,y都有唯一的值与之对应”.例如:“一个数与它的绝对值”,若一个数用x表示,它的绝对值用y表示,其中x可以取任意实数,即自变量的取值范围是全体实数,对应关系是一个数与它的绝对值对应,一个数的绝对值是这个数的函数.
规律方法小结 确定函数关系的方法:判断变量之间是否构成函数关系,就是看是否存在两个变量.并且在这两个变量中,确定好哪个是自变量,哪个是因变量,自变量在变化过程中处于主动地位,因变量在变化过程中处于被动地位,自变量每变一个值,因变量都必须有唯一确定的值与它相对应,这样,它们才能构成函数关系.
知识点3 函数关系式
用来表示函数关系的等式叫做函数关系式,也称为函数解析式.
我们应从以下几个方面来理解函数关系式的概念:
(1)函数关系式是等式.例如:y=2x+3就是一个函数关系式,我们可以说代数式2x+3是x的函数,但不能说2x+3是函数关系式.
(2)函数关系式中指明了哪个是自变量,哪个是函数.通常等式右边的代数式中的变量是自变量,等式左边的一个变量表示函数.例如:y=2x2+3中,y是x的函数,x是自变量.
(3)书写函数关系式是有顺序的.例如:y=x-3表示y是x的函数;若x=y+3,则表示x是y的函数.也就是说,求y关于x的函数关系式,必须用自变量x的代数式表示y,即得到的等式的左边是一个变量y,右边是一个含x的代数式.
(4)用数学式子表示函数的方法叫解析法.
知识点4 自变量的取值范围的确定
函数自变量的取值范围的确定必须考虑两个方面:首先,自变量的取值必须使含自变量的代数式有意义;其次,自变量的取值应使实际问题有意义.这两个方面缺一不可,尤其是后者,在学习过程中特别容易忽略.因此,在分析具体问题时,一定要细致周到地从多方面考虑.
拓展 在函数关系式中,自变量的取值要使函数关系有意义,可分下列几种情况: