北师大版九年级上册数学 综合与实践猜想证明与拓广 教案
教师：同学们，图片中的人物你们认识吗？对，他是伟大的物理学家——牛顿．他在思考苹果为什么落地的问题时，首先做出了大胆的猜想， 最终得出了一个伟大的结论——牛顿万有引力定律．同时也给我们留下了一句名言：没有大胆的猜想，就没有伟大的发现与发明．当然，仅靠大胆的猜想，并不能对问题作出正确的决策和判断，那么，怎样才能对问题作出全面、正确的决策和判断呢？本节课我们就一起探究解决问题的策略与方法——猜想、证明与拓广．
二、探究新知
1．感悟猜想
教师：已 知一个正方形，是否存在另一个正方形，它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的2倍？
引导学生思考：(1)要对这个问题作出合理的猜想，首先应怎么做？
(2)你得出的猜想是什么？你的猜想对任意正方形一定适用吗？
学生讨论交流后回答，教师点评，并进一步讲解：
猜想是在对具体事例的研究结论的基础上，通过类比或归纳得出的具有普遍性的结论．猜想前所需经历的重要过程就是特例尝试，要使得猜想合理化，就要通过特例尝试．
2．体会证明
猜想结论：任意给定一个正方形，不存在另一个正方形，使它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的2倍．
教师：你的猜想正确吗？对任意正方形一定适用吗？如何知道猜想的正确性？
学生思索、讨论、交流意识到：通过几个特例得来的猜想不一定适用于所有正方形，必须要经过证明从而体会到证明的必性．
3．学会拓广
教师：由正方形的倍增问题的结论出发，从改变图形或改变条件或将此结论向更一般化的规律上去拓广等角度出发，你能提出新的问题吗？
学生思考、讨论、交流，分析出：此命题受图形、周长、面积及2倍等条件因素的影响．
教师：如果改变某一条件，新的命题就会生成，这就是拓广．拓广就是改变命题的某一条件，生成新的命题；拓广就是新一轮的猜想；拓广就是举一反三、思维的更高境界.
三、举例分析
例1 任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍？面对矩形倍增问题，你有怎样的研究过程和步骤？请说出你 的研究步骤．
学生小组合作研讨解决此问题的主体步骤．每组可任选一种矩形的长和宽进行研究．然后得出确定的结论，注意解题策略的多样性，小组活动后展示本组的思维成果．
例2 任意给定一个矩形，是否一定存在另一个矩形，它的周长和面积，分别是已知矩形周长和面积的一半？
学生思考、讨论、交流、归纳．
四、练习巩固
1．当矩形满足什么条件时，存在一个新矩形，它的周 长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？
2．自学教材第168页“读一读”．
五、小结
1．知识方面：
(1)任意给定一个正方形，一定不存在另一个正方形，它的周长和面积分别是已知正方形的2倍；
(2)任意给定一个矩形，一定存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍．
2．数学思想方法方面：
(1)转化思想——几何中图形是否存在的问题，常常把它转化为代数中方程是否有解的问题加以 解决；
(2)特殊到一般的思想——对一个问题的研究，一般先从特殊开始，然后再到一般．